【FDU 统计学基础一】期中试题整理（2025年春）

设 $X_1, X_2, \ldots, X_5$ 为取自 $N(0,1)$ 的简单随机样本，求常数 $C$ ，使统计量 $\frac{C\left(X_1+X_2\right)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$ 服从 $t$ 分布，并找出自由度。这样的 $C$ 是否唯一？
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为取自具有下列分布密度族的简单随机样本，
$$
p(x ; \theta)=\theta x^{\theta-1} I_{(0,1)}(x), \quad \theta>0
$$
（1）求 $\theta$ 的矩法估计量。
（2）求 $\theta$ 的最大似然估计。
（3）该分布族是否是完备的。
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为取自具有连续密度函数 $f(x ; \theta), \theta \in \Theta$ 总体的简单随机样本。证明：样本的次序统计量 $T(X)=\left(X_{n,(1)}, X_{n,(2)}, \ldots, X_{n,(n)}\right)$ 必定是充分的。特别的，若 $f(x ; \theta)$ 是 $[0, \theta]$ 上的均匀分布，$\theta>0$ ，则样本最大值为充分的。
假设总体分布为 $F$ ，若 $\hat{F}_n(x)$ 表示样本量为 $n$ 的简单随机样本的经验分布函数，求 $\operatorname{Cov}\left(\hat{F}_n(x), \hat{F}_n(y)\right)$ 。
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为取自具有均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 总体的简单随机样本。证明：对 $i \neq j$ ，相关系数
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\rho\left(X_i-\bar{X}_n, X_j-\bar{X}_n\right)=-\frac{1}{n-1} .
$$
设 $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ 为取自均匀分布 $U(0,1)$ 的简单随机样本。若 $X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq$ $\ldots \leq X_{(n)}$ 为样本的顺序统计量。求 $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ 和 $V=\left(X_{(1)}+X_{(n)}\right) / 2$各自的分布密度函数。