【FDU 随机过程导论】期中试题整理（2025年春）

设 Y₁, Y₂, … 为独立同分布随机变量，其分布函数为 F(y)=y^α (0<y<1, α>0)。设 {N(t), t≥0} 为参数为 λ 的泊松过程，与 {Yᵢ} 独立。求条件概率 P(Z(t)>z | N(t)>0)，其中 Z(t)=min{Y₁, Y₂, …, Yₙ(t)}。
设 {N(t), t≥0} 为参数为 2 的泊松过程，求：
(a) P(N(1)≤2)
(b) P(N(1)=1 且 N(2)=3)
(c) P(N(1)≥2 | N(1)≥1)
设 {X(t), t≥0} 为复合泊松过程，X(t)=Σ₍ᵢ₌₁₎ᴺ(t) Yᵢ，其中 N(t) 为参数 λ 的泊松过程，{Yᵢ} 独立，均值 μ，方差 σ²，与 N(t) 独立。求 Cov(X(s), X(t))。
乘客以参数 λ 的泊松过程到达车站，公交在固定时间 T 发车。求上车乘客总等待时间的期望。
设 {N₁(t)} 与 {N₂(t)} 为独立泊松过程，参数分别为 λ₁ 和 λ₂。求第 n 个事件（第一过程）发生在第二过程第 m 个事件之前的概率。
行人欲在车辆以参数 λ 的泊松过程经过的马路上过街，只有当预见到接下来连续 c 时间内无车辆通过时才开始过街。令 N 为过街前车辆经过数，R 为开始过街时刻。求：
(a) N 的分布及其期望
(b) E(Xᵢ | Xᵢ>c)
(c) E(Xᵢ | Xᵢ<c)
(d) 用 N 与间隔时间 Xᵢ 表示 R，并求 E(R)
(e) E(Xₙ₊₁)